중3 수학, 루트 식 정리하기 🔢

이번에 살펴볼 문제는 루트 식을 간단히 정리하는 문제입니다. 특히 2<a<32<a<32<a<3 조건이 주어져 있어서, 이 조건을 바탕으로 문제를 해결하는 과정에서 이해하기 어려운 부분들이 생길 수 있습니다. 질문하신 내용을 차근차근 정리하며 설명드리겠습니다. 😊

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문제 다시 살펴보기 🔍

문제:

2<a<3일 때,(2−a)2+(6−2a)2을 간단히 하시오.2<a<3 \text{일 때}, \sqrt{(2-a)^2} + \sqrt{(6-2a)^2} \text{을 간단히 하시오.}2<a<3일 때,(2−a)2​+(6−2a)2​을 간단히 하시오.

이 식을 간단히 정리하기 위해서는 루트의 성질과 절댓값을 올바르게 이해해야 합니다.

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핵심 개념 복습 🧠

1. 루트와 절댓값의 관계
   • x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|x2​=∣x∣
   • 여기서 중요한 점은, 루트 안에 제곱이 들어간 경우 절댓값으로 나타난다는 것입니다. 예를 들어:
     • (−3)2=∣−3∣=3\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3(−3)2​=∣−3∣=3
     • (4)2=∣4∣=4\sqrt{(4)^2} = |4| = 4(4)2​=∣4∣=4
2. 조건을 이용해 절댓값 결정하기
   • 절댓값은 주어진 범위에 따라 음수나 양수로 결정됩니다.
   • 예를 들어, x>0x > 0x>0이면 ∣x∣=x|x| = x∣x∣=x이고, x<0x < 0x<0이면 ∣x∣=−x|x| = -x∣x∣=−x입니다.

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문제 풀이 과정 ✍️

Step 1. (2−a)2\sqrt{(2-a)^2}(2−a)2​ 계산하기

• (2−a)2=∣2−a∣\sqrt{(2-a)^2} = |2-a|(2−a)2​=∣2−a∣
• 여기서 2<a<32<a<32<a<3라는 조건을 고려해야 합니다. 이 조건에 따라:
  • 2−a2-a2−a는 음수가 됩니다. 왜냐하면 a>2a > 2a>2이기 때문입니다.
  • 따라서 ∣2−a∣=−(2−a)=a−2|2-a| = -(2-a) = a-2∣2−a∣=−(2−a)=a−2

Step 2. (6−2a)2\sqrt{(6-2a)^2}(6−2a)2​ 계산하기

• (6−2a)2=∣6−2a∣\sqrt{(6-2a)^2} = |6-2a|(6−2a)2​=∣6−2a∣
• 6−2a6-2a6−2a의 부호를 판단하려면 2<a<32<a<32<a<3 조건을 다시 살펴봅니다:
  • 6−2a>06-2a > 06−2a>0인지 확인하려면 aaa 범위를 넣어 계산하면 됩니다.
  • a=2.5a=2.5a=2.5 같은 값을 넣어보면 6−2a=6−5=1>06-2a = 6-5=1 > 06−2a=6−5=1>0이므로, 6−2a>06-2a > 06−2a>0임을 알 수 있습니다.
  • 따라서 ∣6−2a∣=6−2a|6-2a| = 6-2a∣6−2a∣=6−2a

Step 3. 전체 식 정리하기

이제 두 값을 모두 더해봅시다:

(2−a)2+(6−2a)2=(a−2)+(6−2a)\sqrt{(2-a)^2} + \sqrt{(6-2a)^2} = (a-2) + (6-2a)(2−a)2​+(6−2a)2​=(a−2)+(6−2a)

이를 간단히 정리하면:

a−2+6−2a=−a+4a - 2 + 6 - 2a = -a + 4a−2+6−2a=−a+4

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질문에 대한 답변 🗨️

1. 왜 6−2a>06-2a > 06−2a>0인가요?
   • 2<a<32<a<32<a<3 조건을 그대로 적용했을 때, 6−2a6-2a6−2a는 항상 양수가 됩니다. 이를 통해 절댓값을 계산할 때 단순히 6−2a6-2a6−2a로 처리할 수 있습니다.
2. aaa 값이 2.xxx2.xxx2.xxx인데 왜 음수가 되지 않나요?
   • 6−2a6-2a6−2a의 부호를 오해하기 쉬운 부분인데, 2<a<32<a<32<a<3 범위를 대입해 직접 값을 계산해보면 6−2a>06-2a > 06−2a>0임이 확실합니다. 따라서 절댓값을 구할 때 양수로 간주합니다.

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결론 🏁

최종적으로 문제의 답은:

−a+4\boxed{-a + 4}−a+4​

위와 같은 방식으로 절댓값과 범위 조건을 꼼꼼히 확인하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 😊 질문하신 과정에서 헷갈렸던 부분은 절댓값 계산에서 부호를 잘못 판단했기 때문입니다. 이 과정을 통해 루트와 절댓값 문제를 더 명확히 이해할 수 있기를 바랍니다! ✨

 

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